EKSPONEN DAN LOGARITMA

4.1    FUNGSI EKSPONEN

Fungsi eksponensial adalah salah satu fungsi yang paling penting dalam matematika. Biasanya, fungsi ini ditulis dengan notasi exp(x) atau e^x, dimana e adalah basis logaritma natural yang kira-kira sama

Fungsi eksponensial (merah) terlihat hampir mendatar horizontal (naik secara sangat perlahan) untuk nilai x yang negatif, dan naik secara cepat untuk nilai x yang positif.

Sebagai fungsi variabel bilangan real x, grafik e^x selalu positif (berada diatas sumbu x) dan nilainya bertambah (dilihat dari kiri ke kanan). Grafiknya tidak menyentuh sumbu x, namun mendekati sumbu tersebut secara asimptotik. Invers dari fungsi ini, logaritma natural, atau ln(x), didefinisikan untuk nilai x yang positif.

Logaritma adalah kebalikan dari proses pemangkatan, untuk itu diawali bagian ini dengan mengulang singkat sifat-sifat perpangkatan. Misalkan akan digambarkan grafik pangkat dengan menghitung nilai-nilai pangkat sebanyak mungkin. Anggap saja y = 2^x , maka akan diperoleh beberapa sifat berikut:

(a) Untuk x makin besar, nilai 2x juga makin besar dan 2x > x.

(b) Untuk x makin kecil (negatif), nilai 2x makin kecil menuju nol.

(c) Untuk sembarang x, nilai 2x > 0.

(d) Untuk x = 0, nilai 2x = 1.

(e) Jika x1 < x2, nilai .

Berikut adalah Gambar 1.6.1. Gambar tersebut merupakan pola dari grafik y = ax dengan a > 1.

Gambar 1.6.1                      Gambar 1.6.2

Untuk memberikan gambaran mengenai grafik y = a^x untuk a yang lain,

perhatikan sifat berikut ini. Misal a > b, berlaku.                                          

(a) untuk x > 0, maka ax > bx.

(b) untuk x < 0, maka ax < bx.

4.2    FUNGSI  LOGARITMA

Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan dari eksponen atau pemangkatan. Rumus dasar logaritma:

b^c= a ditulis sebagai ^blog a = c (b disebut basis) dengan syarat a > 0, b > 0, dan b ≠ 1

Grafik fungsi logaritma dibedakan menjadi dua yaitu untuk 0 < a < 1 dan untuk a > 1.

1. Grafik y = ^a log x , untuk 0 < a < 1               

Misalnya salah satu kasus yaitu y = ^½ log x memiliki sifat-sifat:

a) terdefinisi untuk semua x >0;

b) jika x mendekati nol maka y besar sekali dan bertanda positip;

c) untuk x = 1, y = 0

d) untuk x lebih besar dari 1, y berharga negatip. Jika x semakin besar, maka y semakin

    kecil.

Dari uraian di atas, ditambah dengan tabel yang berisi beberapa nilai fungsi berikut ini,

grafik y = 1/2 log xdapat digambarkan seperti di bawah ini.

x            1/2 1  2  4   8 16

^½ log x     1 0 -1 -2 -3 -4

2. Grafik y = ^a log x , untuk a > 1

Dipelajari salah satu kasus yaitu y = ² log x. Fungsi y = ² log x memiliki sifat-sifat:

a) terdefinisi untuk semua x > 0;

b) jika x mendekati nol maka y kecil sekali dan bertanda negatip;

c) untuk x = 1, y = 0

d) untuk x lebih besar dari 1, y berharga positip. Jika x semakin besar, maka y semakin

    besar pula.

Dari uraian di atas, ditambah dengan tabel yang berisi beberapa nilai fungsi berikut ini,

grafik y = 2 log x dapat digambarkan seperti di bawah ini.

X	1/4	1/2	1	2	4
Y	-2	-1	0	1	2

Dalam fungsi logaritma dikenal satu fungsi khusus yaitu fungsi logaritma dengan bilangan

pokok e, yang disebut logaritma Napier, disingkat ln (dibaca len). Jadi logaritma dengan

bilangan pokok e adalah y = e log x = ln x.

 4.3    SIFAT-SIFAT LOGARITMA

Sebagaimana telah diuraikan pada subbab sebelumnya, bahwa logaritma dapat diturunkan dari perpangkatan. Dengan pemahaman tersebut, sifatsifat perpangkatan dapat digunakan untuk mendapatkan sifat-sifat. logaritma seperti berikut ini. Sifat-sifat logaritma :

1.   ^p log ( ab ) = ^p log a + ^p log b
2.   ^a  log a ⁿ = n
3.   ^p log (a/b) = ^p log a – ^p log b
4.   ^p log 1 = 0
5.   ^p log aⁿ = n . ^a log a
6.   ^p log a . ^a log q = ^p log q
7.   ^pn log a^m = m/n ^p log a
8.   ^p log p = 1
9.   P ^{p log a} = a

 10.   ^p log a = log a/log p

 11. 1/ ^a log b =  ^b log a

Keterangan:

1. Bila bilangan pokok suatu logaritma tidak diberikan, maka maksudnya logaritma tersebut  berbilangan pokok = 10. [ log 7 maksudnya 10log 7 ]

2. Logn x adalah cara penulisan untuk (logx)ⁿ. Bedakan dengan log xn = n log x

Contoh:
1. Tentukan nilai logaritma berikut.

     a. ³ log 6 x ⁶ log 81

     b. ⁴ log 9 x ³ log 125 x 25 log 16

     Answer   : a. ³ log 6 x ⁶ log 81 = ³ log 81 = 4

          b. ⁴ log 9 x ³ log 125 x 25 log 16 = 6

2. Sederhanakan
    2 3log 1/9 + 4log 2 =……

    Answer   :  2 3log 1/9 + 4log 2 = 2 (-2) + ½ = -7/2

3. Jika 9log 8 = n Tentukan nilai dari 4log 3 !
    Answer   :  9log 8 = n
                      3²log 2³ = n
                      3/2 3log 2 = n
                      3 log 2 = 2n
                      

                       4log 3 = 2²log 3
                                  = 1/2 ²log 3
                                  = 1/2 ( 1/(³log 2) )
                                  = 1/2 (3 / 2n)
                                  = 3/4n

4. Jika diketahui log 2 = 0,3010 dan log 3 = 0,4771, tentukan logaritma berikut ini.

    a. log 6                                 d. log 15

    b. log 9                                e. log 72

    c. log 0,25

    Answer : a. log 6 = log (2 x 3) = log 2 + log 3 = 0,3010 + 0,4771 = 0,7781

                  b. log 9 = log 3²= 2 x log 3 = 2 x 0,4771 = 0,9542

                  c. log ¼ = log 2^-2 = -2 x log 2 = -2 x 0,3010 = - 0,6020

                  d. log 15 = log 3 + log 5= log 3 + log 10 – log 2 = 0,4771 + 1 – 0,3010 = 1,1761

      e. log 72 = log (23 x 32) = 3 x log 2 + 2 x log 3 = 3 x 0,3010 + 2 x 0,4771 = 1,8573

5. Tentukan nilai dari soal-soal logaritma berikut.

    a. 3 log 9 + 3 log 18 – 3 log 2 

    b. log 8 + log 400 – log 32

    Answer  : a. 3 log 9 + 3 log 18 – 3 log 2 = 3 log (9x18/2) = 3 log 81 = 4

       b. log 8 + log 400 – log 32 = log (8 x 400 / 32) = log 100 = 2

4.4     PERSAMAAN FUNGSI EKSPONEN DAN LOGARITMA

Persamaan Logaritma

          6.    ^alog f(x) = b ® f(x) =ab

        7.    ^f(x)log a = b ® (f(x))^b = a

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut !

1. xlog 1/100 = -1/8
   x^-1/8 = 10^-2
   (x ^-1/8) ^-8 = (10-2)^-8
   x = 10 ¹⁶
2. ^xlog 81 - 2 ^xlog 27 + ^xlog 9 + 1/2 ^xlog 729 = 6
   ^xlog 3⁴ - 2 ^xlog3³ + ^xlog² + 1/2 ^xlog 3⁶ = 6
   4 ^xlog3 - 6 ^xlog3 + 2 ^xlog3 + 3 ^xlog 3 = 6
   3 ^xlog 3 = 6
   ^xlog 3 = 2
   x² = 3 ® x = Ö3 (x>0)
3. ^xlog (x+12) - 3 ^xlog4 + 1 = 0
   ^xlog(x+12) - ^xlog 4³ = -1
   ^xlog ((x+12)/4³) = -1
   (x+12)/4³ = 1/x
   x² + 12x - 64 = 0
   (x + 16)(x - 4) = 0
   x = -16 (TM) ; x = 4
4. ²log²x - 2 ²logx - 3 = 0 misal :   ²log x = p
    p² - 2p - 3 = 0
    (p-3)(p+1) = 0
    p₁ = 3
   ²log x = 3
   x₁ = 2³ = 8
   
   p₂ = -1
   ²log x = -1
   x₂ = 2^-1 = 1/2

BENTUK-BENTUK

A. a^f(x) = a^g(x) ® f(x) = g(x)

    ® Samakan bilangan pokoknya sehingga pangkatnya dapat disamakan.

contoh :

2 SUKU ® SUKU DI RUAS KANAN, 1 SUKU DI RUAS KIRI

1.  (8^{2x-3) 1/2}  = (32^x+1)^1/4
   (2³)^(2x-3)1/2 = (2⁵)^(x+1)1/4
   2^(6x-9)/2 = 2^(5x-5)/4
   (6x-9)/2 = (5x-5)/4
   24x-36 = 10x+10
   14x = 46
   x = 46/14 = 23/7
2. 3^x²-3x+2 + 3^x²-3x = 10
   3².3^x²-3x+3^x²-3x = 10
   9. ^3x²-3x + 3^x²-3x = 10
   10. 3^x²-3x = 10
   3^{x² - 3x} = 3⁰
   x² - 3x = 0
   x(x-3) = 0
   x1 = 0 ; x2 = 3

3 SUKU ® GUNAKAN PEMISALAN

1. 2^{2x + 2} - 2 ^x+2 + 1 = 0
   2².2^2x - 2².2^x + 1 = 0
   Misalkan : 2^x = p
                 2^2x = (2x)² = p²
   4p² -4p + 1 = 0
   (2p-1)² = 0
   2p - 1 = 0
   p =1/2
   2^x = 2^-1
   x = -1
2. 3^x + 3^3-x - 28 = 10
   3x + 3³/3^x - 28 = 10
   misal : 3^x = p
   p + 27/p - 28 = 0
   p² - 28p + 27 = 0
   (p-1)(p-27) = 0
   p1 = 1 ® 3^x = 3⁰
                x1 = 0
   p2 = 27 ® 3^x = 3³
   x2 = 3

B. a^f(x) = b^f(x) ® f(x) = 0

Bilangan pokok berbeda, pangkat sama. Pangkatnya = 0.

Contoh:

1. 3^x²-x-2 = 7^x²-x-2
   x² - x -2 = 0
   (x-2)(x+1) = 0
   x1 = 2 ; x2 = -1

C. a^f(x) = b^f(x) ® f(x) log a = g(x) log b

Bilangan pokok berbeda, pangkat berbeda. Diselesaikan dengan menggunakan logaritma.

Contoh:

1. 4^x-1 = 3^x+1
   (x-1)log4 = (x+1)log3
   xlog4 - log4 = x log 3 + log 3
   x log 4 - x log 3 = log 3 + log 4
   x (log4 - log3) = log 12
   x log 4/3 = log 12
   x log 4/3 = log 12
   x = log 12/ log 4/3 = ^4/3 log 12

D. f(x) ^g(x) = f(x) ^h(x)

     ® Bilangan pokok (dalam fungsi) sama, pangkat berbeda.Tinjau        beberapa kemungkinan.

1. Pangkat sama g(x) = h(x)
2. Bilangan pokok f(x) = 1           ket: 1^g(x) = 1^h(x) = 1
3. Bilangan pokok f(x) = -1
   Dengan syarat, setelah nilai x didapat dari f(x)=-1 , maka nilai
   pangkatnya yaitu g(x) dan h(x) kedua-duanya harus genap atau kedua-duanya harus ganjil.
   
   ket :
   g(x) dan h(x) Genap : (-1)^g(x) = (-1)^h(x) = 1
   g(x) dan h(x) Ganjil : (-1)^g(x) = (-1)^h(x) = -1
4. Bilangan pokok f(x) = 0
   Dengan syarat, setelah nilai x didapat dari f(x) = 0, maka nilai pangkatnya yaitu g(x) dan h(x) kedua-duanya harus positif.
   
   ket : g(x) dan h(x) positif ® 0^g(x) = 0^h(x) = 0

Contoh:

(x² + 5x + 5)^3x-2 = (x² + 5x + 5)^2x+3

1. Pangkat sama
       3x - 2 = 2x + 3 ® x1 = 5
2. Bilangan pokok = 1
   x² + 5x + 5 = 1
   x² + 5x + 4 = 0 ® (x-1)(x-4) = 0 ® x2 = 1 ; x3 = 4
3. Bilangan pokok = -1
   x² - 5x + 5 = -1
   x² - 5x + 6 = 0 ® (x-2)(x-3) = 0 ® x = 1 ; x = 4
   
   g(2) = 4 ; h(2) = 7 ; x=2 tak memenuhi karena (-1)4 ¹ (-1)7
   g(3) = 7 ; h(3) = 9 ; x4 = 3 memenuhi karena (-1)7 = (-1)9 = -1
4. Bilangan pokok = 0
   x² - 5x + 5 = 0 ® x_5,6 = (5 ± Ö5)/2
   
   kedua-duanya memenuhi syarat, karena :
   g(2 1/2 ± 1/2 Ö5) > 0
   h(2 1/2 ± 1/2 Ö5) > 0
   
   Harga x yang memenuhi persamaan diatas adalah :
   HP : { x | x = 5,1,4,3,2 1/2 ± 1/2 Ö5}